近期继数论方面的一个“局部-整体猜想”被推翻之后（请参阅小乐数学科普：猝不及防，一个被广泛相信的数论猜想被两名学生推翻——量子杂志），拓扑学中的“望远镜猜想”，又被年轻数学家推翻。

原文标题：（Homotopy）理论是做出这些区分的一个角度。它认为一个球和一个蛋基本上是相同的拓扑空间，因为你可以弯曲和拉伸一个到另一个而不撕裂。同样，同伦理论认为一个球和一只轮胎内胎是根本不同的，因为你必须在球上撕开一个洞才能使其变形为内胎。

(相关资料图)

同伦对于拓扑空间的分类很有用——给各种可能的形状制表。这对于理解数学家关心的其他东西也很重要：空间之间的映射。如果你有两个拓扑空间，探测它们性质的一种方法是寻找将一个拓扑空间上的点转换或映射到另一个拓扑空间上的点的函数——在空间 A 上输入一个点，在空间 B 上获取一个作为输出的点，然后对 A 上的所有点执行此操作。

要了解这些映射的工作原理，以及为什么它们会照亮所涉及的空间的性质，请从圆开始。现在将其映射到二维球体上，即球的表面。有无数种方法可以做到这一点。例如，如果你把球面想象成地球的表面，你可以把你的圆放在任何纬线上。从同伦理论的角度来看，它们都是等价的，或者说是（homotopic），因为它们都可以缩小到北极或南极的一点。

接下来，将圆映射到内胎的二维表面（单孔的工具，该工具由亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）于1950年代建立，并在过去十年中迅速发展。它在数学中都有应用，包括在几何学中，它有能力对不变量进行增压。

这四位作者使用代数K-理论作为小工具：他们输入摩拉瓦E-理论，输出是一个新的不变量，他们称之为摩拉瓦E-理论不动点的代数K-理论。然后，他们将这种新的不变量应用于从球体到望远镜的映射，并证明它可以看到摩拉瓦E-理论无法看到的映射。

这个新的不变量不只是看到了更多的映射。它看到的非常多，甚至无限多。如此之多，以至于可以这样恰如其分地讲，在识别从球体到望远镜的映射时摩拉瓦E-理论几乎还未触及问题的皮毛。

从球体到望远镜的无限多的映射意味着球体本身之间的无限多映射。对于任何维度差，这种映射的数量都是有限的，但新的证明表明，这个数字会迅速而无情地增长。

有这么多的映射指向一个令人不安的几何现实：有这么多的球体。

1956年，约翰·米尔诺（John Milnor）发现了所谓的“异类”球体的第一个例子。这些空间可以从同伦的角度变形为实际的球体，但在某种精确意义上与球体不同。异类球体在一维、二维或三维中根本不存在，也没有人在低于七维发现它们的例子——而米尔诺在七维第一次发现它们。但随着维度的增长，异类球体的数量会爆炸。15维中的数量是16256，19维中的数量是523264（请注意16256=(2⁷-1)2⁷=2¹⁵⁻¹-2⁷，523264=(2⁹-1)2¹⁰=2¹⁹-2¹⁰，这两公式为译者补充，原文无，zzllrr小乐译注）。

然而，尽管这些数字如此巨大，但望远镜猜想的否证意味着还有更多映射。否证意味着球体之间的映射比拉夫纳尔提出猜想时预期的要多，而获得更多映射的唯一方法是在更多种类的球体之间进行映射。

数学和科学有不同类型的进步。一种进步是给混乱带来秩序。但另一种进步是通过消除不正确的充满希望的假设来加剧混乱。望远镜猜想的否证就是这样。它加深了几何学的复杂性，并在有人彻底理解球体之间的映射之前，增加了需要好几代子子孙孙经历的逆境。

“这个主题的每一个重大进展似乎都告诉我们，答案比我们以前想象的要复杂得多，”拉夫纳尔说。

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